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《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第1课时均值不等式)
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《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第1课时均值不等式)

第一部分内容:学 习 目 标

1.掌握均值不等式,明确均值不等式成立的条件.(难点)

2.会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小.(重点)

核 心 素 养

1.通过不等式的证明,培养逻辑推理的素养.

2.通过均值不等式形式求简单的最值问题,提升数学运算的素养.

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均值不等式及其应用PPT,第二部分内容:自主预习探新知

新知初探

1.算术平均值与几何平均值

对于正数a,b,常把a+b2叫做a,b的_________,把ab叫做a,b的_________.

2.均值不等式

(1)当a>0,b>0时,有a+b2  ab,当且仅当a=b时,等号成立;

(2)均值不等式的常见变形

①当a>0,b>0,则a+b≥2ab;

②若a>0,b>0,则ab  a+b22.

初试身手

1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是(  )

A.a=±1 B.a=1

C.a=-1  D.a=0

2.已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是(  )

A.a2+b2  B.2ab  C.2ab   D.a+b

3.已知ab=1,a>0,b>0,则a+b的最小值为(  )

A.1      B.2  C.4  D.8

4.当a,b∈R时,下列不等关系成立的是________.

①a+b2≥ab;②a-b≥2ab;③a2+b2≥2ab;④a2-b2≥2ab.

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均值不等式及其应用PPT,第三部分内容:合作探究提素养

对均值不等式的理解

【例1】给出下面三个推导过程:

①∵a,b为正实数,∴ba+ab≥2ba•ab=2;

②∵a∈R,a≠0,∴4a+a≥24a•a=4;

③∵x,y∈R,xy<0,∴xy+yx=--xy+-yx≤-2-xy-yx=-2.

其中正确的推导为(  )

A.①② B.①③

C.②③  D.①②③

规律方法

1.均值不等式ab≤a+b2 (a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系.

2.对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:

(1)定理成立的条件是a,b都是正数.

(2)“当且仅当”的含义:当a=b时,ab≤a+b2的等号成立,即a=b⇒a+b2=ab;仅当a=b时,a+b2≥ab的等号成立,即a+b2=ab⇒a=b.

利用均值不等式比较大小

【例2】(1)已知a,b∈(0,+∞),则下列各式中不一定成立的是(  )

A.a+b≥2ab  B.ba+ab≥2

C.a2+b2ab≥2ab  D.2aba+b≥ab

(2)已知a,b,c是两两不等的实数,则p=a2+b2+c2与q=ab+bc+ca的大小关系是________.

规律方法

1.在理解均值不等式时,要从形式到内含中理解,特别要关注条件.

2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥2ab成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b;a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.

利用均值不等式证明不等式

【例3】已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c>9.

规律方法

1.条件不等式的证明,要将待证不等式与已知条件结合起来考虑,比如本题通过“1”的代换,将不等式的左边化成齐次式,一方面为使用均值不等式创造条件,另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系.

2.先局部运用均值不等式,再利用不等式的性质(注意限制条件),通过相加(乘)合成为待证的不等式,既是运用均值不等式时的一种重要技能,也是证明不等式时的一种常用方法.

课堂小结

1.应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件,只有当a>0,b>0时,才会有ab≤a+b2.对于“当且仅当……时,‘=’成立…”这句话要从两个方面理解:一方面,当a=b时,a+b2=ab;另一方面:当a+b2=ab时,也有a=b.

2.应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形,构造出符合均值不等式的条件结构.

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均值不等式及其应用PPT,第四部分内容:当堂达标固双基

1.思考辨析

(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2ab均成立.(  )

(2)若a≠0,则a+1a≥2a•1a=2.(  )

(3)若a>0,b>0,则ab≤a+b22.(  )

[提示](1)任意a,b∈R,有a2+b2≥2ab成立,当a,b都为正数时,不等式a+b≥2ab成立.

(2)只有当a>0时,根据均值不等式,才有不等式a+1a≥2a•1a=2成立.

(3)因为ab≤a+b2,所以ab≤a+b22.

2.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是(  )

A.a-b<0 B.0<ab<1

C.ab<a+b2  D.ab>a+b

3.不等式9x-2+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(  )

A.x=3  B.x=-3

C.x=5  D.x=-5

4.设a>0,b>0,证明:b2a+a2b≥a+b.

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