《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第2课时均值不等式的应用)
第一部分内容：学 习 目 标
1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)
2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)
核 心 素 养
1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．
2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
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均值不等式及其应用PPT，第二部分内容：自主预习探新知
新知初探
已知x，y都是正数．
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最 值S24.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最 值2p.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
初试身手
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( )
A.72 B．4 C.92 D．5
2．若x>0，则x＋2x的最小值是________．
3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．
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均值不等式及其应用PPT，第三部分内容：合作探究提素养
利用均值不等式求最值
【例1】(1)已知x<54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；
(2)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x)的最大值．
[思路点拨] (1)看到求y＝4x－2＋14x－5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
规律方法
利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决.
利用均值不等式求条件最值
【例2】已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．
规律方法
1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有y＝ax＋bx型和y＝ax(b－ax)型．
利用均值不等式解决实际问题
【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[解]设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
规律方法
在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
课堂小结
1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.
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均值不等式及其应用PPT，第四部分内容：当堂达标固双基
1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.( )
(3)当x>1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.( )
2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A．1 B．22 C．2 D．4
3．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为( )
A.12 B.34
C.23 D.25
4．已知x>0，求y＝2xx2＋1的最大值．
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