《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT(第1课时均值不等式)
第一部分内容:学习目标
理解算术平均值与几何平均值的概念,掌握均值不等式及其推理过程
能够运用均值不等式求函数或代数式的最值
... ... ...
均值不等式及其应用PPT,第二部分内容:自主学习
问题导学
预习教材P72-P75的内容,思考以下问题:
1.正数a,b的算术平均值和几何平均值是什么?
2.均值不等式的内容是什么?
3.均值不等式中的等号成立的条件是什么?
4.两个正数的积为常数时,它们的和有什么特点?
5.两个正数的和为常数时,它们的积有什么特点?
新知初探
1.算术平均值与几何平均值
给定两个正数a,b,数____________称为a,b的算术平均值;数ab 称为a,b的几何平均值.
2.均值不等式
如果a,b都是正数,那么_______________,当且仅当a=b时,等号成立.
■名师点拨
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是不同的.前者要求a,b是实数即可,而后者要求a,b都是正实数(实际上后者只要a≥0,b≥0即可).
(2)两个不等式a2+b2≥2ab和a+b2≥ab都是带有等号的不等式,都是“当且仅当a=b时,等号成立”.
3.均值不等式与最值
已知x>0,y>0,则
(1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最_____值s24.
(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最______值2p.
即:两个正数的积为常数时,它们的和有______值;
两个正数的和为常数时,它们的积有______值.
■名师点拨
利用均值不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即:
①一正:符合均值不等式a+b2≥ab成立的前提条件,a>0,b>0;
②二定:化不等式的一边为定值;
③三相等:必须存在取“=”号的条件,即“=”号成立.
以上三点缺一不可.
自我检测
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab均成立.( )
(2)若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2ab.( )
(3)若a>0,b>0,则ab≤a+b22.( )
(4)a,b同号时,ba+ab≥2.( )
(5)函数y=x+1x的最小值为2.( )
如果a>0,那么a+1a+2的最小值是( )
A.2 B.22
C.3 D.4
不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
... ... ...
均值不等式及其应用PPT,第三部分内容:讲练互动
对均值不等式的理解
下列结论正确的是( )
A.若x∈R,且x≠0,则4x+x≥4
B.当x>0时,x+1x≥2
C.当x≥2时,x+1x的最小值为2
D.当0<x≤2时,x-1x无最大值
利用均值不等式直接求最值
(1)已知t>0,求y=t2-4t+1t的最小值;
(2)若实数x,y满足2x+y=1,求xy的最大值.
规律方法
(1)若a+b=p(和为定值),当a=b时,积ab有最大值p24,可以用均值不等式ab≤a+b2求得.
(2)若ab=s(积为定值),则当a=b时,和a+b有最小值2s,可以用均值不等式a+b≥2ab求得.
不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立.
利用均值不等式借助拼凑法求最值
(1)已知x>2,则y=x+4x-2的最小值为________.
(2)若x,y∈(0,+∞),且x+4y=1,则1x+1y的最小值为________.
求解策略
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
... ... ...
均值不等式及其应用PPT,第四部分内容:达标反馈
1.下列不等式中,正确的是( )
A.a+4a≥4 B.a2+b2≥4ab
C.ab≥a+b2 D.x2+3x2≥23
2.若a>0,b>0,a+2b=5,则ab的最大值为( )
A.25 B.252
C.254 D.258
3.若a>1,则a+1a-1的最小值是( )
A.2 B.a
C.2aa-1 D.3
4.已知x,y为正实数,且x+y=4,求1x+3y的最小值.
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