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《函数的单调性》函数的概念与性质PPT课件(第2课时函数的平均变化率)
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《函数的单调性》函数的概念与性质PPT课件(第2课时函数的平均变化率)

第一部分内容:学 习 目 标

1.理解斜率的含义及平均变化率的概念.(重点)

2.掌握判断函数单调性的充要条件.(重点、难点)

核 心 素 养

通过利用函数f(x)的平均变化证明f(x)在I上的单调性,提升数学运算和培养逻辑推理素养.

... ... ...

函数的单调性PPT,第二部分内容:自主预习探新知

新知初探

1.直线的斜率

(1)定义:给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1≠x2时,称________为直线AB的斜率;(若记Δx=x2-x1,Δy=y2-y1,当Δx≠0时,斜率记为ΔyΔx),当x1=x2时,称直线AB的斜率________.

(2)作用:直线AB的斜率反映了直线相对于__轴的倾斜程度.

2.平均变化率与函数单调性

若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2),ΔyΔx=y2-y1x2-x1即ΔfΔx=f(x2)-f(x1)/x2-x1,则

(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是ΔyΔx   0在I上恒成立;

(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是ΔyΔx   0在I上恒成立.

3.平均变化率的物理意义

(1)把位移s看成时间t的函数s=s(t),则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1,t2]上的平均速度,即v=st2-st1t2-t1.

(2)把速度v看成时间t的函数v=v(t),则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1,t2]上的平均加速度,即a=vt2-vt1t2-t1.

初试身手

1.已知点A(1,0),B(-1,1),则直线AB的斜率为(  )

A.-12    B.12    C.-2    D.2

2.如图,函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率为(  )

A.1        B.-1        C.2        D.-2

3.一次函数y=-2x+3在R上是________函数.(填“增”或“减”)

4.已知函数f(x)=2x2+3x-5,当x1=4,且Δx=1时,求Δy的平均变化率ΔyΔx.

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函数的单调性PPT,第三部分内容:合作探究提素养

平均变化率的计算

【例1】 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm,加热后会膨胀,当温度为t ℃时,边长变为10(1+at)cm,a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率.

[思路点拨] 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式,再求面积的平均变化率.

规律方法

1.关于平均变化率的问题在生活中随处可见,常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等.找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键.

2.求平均变化率只需要三个步骤:(1)求出或者设出自变量的改变量;(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量;(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值.

跟踪训练

1.路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯.

(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式;

(2)求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率.

利用平均变化率证明函数的单调性

【例2】若函数y=f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)>0,求证:g=1f(x)在I上为减函数.

规律方法

单调函数的运算性质

若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则:

1f(x)与f(x)+CC为常数具有相同的单调性.

2f(x)与a•f(x),当a>0时具有相同的单调性;当a<0时具有相反的单调性.

二次函数的单调性最值问题

[探究问题]

1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的对称轴与区间[m,n]可能存在几种位置关系,试画草图给予说明?

2.求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值,应考虑哪些因素?

课堂小结

1.平均变化率中Δx,Δy,ΔyΔx的理解

(1)函数f(x)应在x1,x2处有定义;

(2)x2在x1附近,即Δx=x2-x1≠0,但Δx可正可负;

(3)注意变量的对应,若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),而不是Δy=f(x1)-f(x2);

(4)平均变化率可正可负,也可为零.但是,若函数在某区间上的平均变化率为0,并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.

2.判断函数y=f(x)在I上单调性的充要条件

(1)y=f(x)在I上单调递增的充要条件是ΔyΔx>0恒成立;

(2)y=f(x)在I上单调递减的充要条件是ΔyΔx<0恒成立.

... ... ...

函数的单调性PPT,第四部分内容:当堂达标固双基

1.思考辨析

(1)一次函数y=ax+b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a.(  )

(2)函数y=f(x)的平均变化率ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1的几何意义是过函数y=f(x)图像上两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))所在直线的斜率.(  )

(3)在[a,b]上,y=ax2+bx+c(a≠0)任意两点的平均变化率都相等.(  )

2.函数f(x)=x从1到4的平均变化率为(  )

A.13 B.12

C.1  D.3

3.李华在参加一次同学聚会时,他用如图所示的圆口杯喝饮料,李华认为:如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同),那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t),则函数h(t)的图像可能是(  )

4.一质点的运动方程为s=8-3t2,其中s表示位移(单位:m),t表示时间(单位:s).求该质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度.

... ... ...

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