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《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT课件(第1课时)
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《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT课件(第1课时)

第一部分内容:学 习 目 标

1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系.(难点)

2.会求函数的零点.(重点)

3.掌握函数与方程、不等式之间的关系,并会用函数零点法求不等式的解集.(重点、难点)

核 心 素 养

1.借助函数零点概念的理解,培养数学抽象的素养.

2.通过函数与方程、不等式之间的关系的学习,提升逻辑推理的素养.

3.利用零点法求不等式的解集,培养数学运算的素养.

... ... ...

函数与方程不等式之间的关系PPT,第二部分内容:自主预习探新知

新知初探

1.函数的零点

(1)函数零点的概念:一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值______,即______,则称实数α为函数y=f(x)的零点.

(2)三者之间的关系:

函数f(x)的零点⇔函数f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)=0____________.

2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系

(1)ax2+bx+c=0(a≠0)的解是函数f(x)=ax2+bx+c的______.

(2)ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值为_______的自变量x的取值集合;ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值为       的自变量x的取值集合.

3.图像法解一元二次不等式的步骤

(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程;

(2)求出其对应的二次函数的_____;

(3)画出二次函数的_____;

(4)结合图像写出一元二次不等式的 _____.

初试身手

1.函数y=1+1x的零点是(  )

A.(-1,0) B.x=-1

C.x=1  D.x=0

2.根据表格中的数据,可以断定方程ex-(x+2)=0(e≈2.72)的一个根所在的区间是(  )

A.(-1,0)  B.(0,1)

C.(1,2)  D.(2,3)

3.若f(x)=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是(  )

A.m<-2或m>2  B.-2<m<2

C.m≠±2  D.1<m<3

... ... ...

函数与方程不等式之间的关系PPT,第三部分内容:合作探究提素养

函数的零点及求法

【例1】求函数f(x)=x3-7x+6的零点.

[解]令f(x)=0,即x3-7x+6=0,

∴(x3-x)-(6x-6)=0,

∴x(x-1)(x+1)-6(x-1)=(x-1)•(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)=0,

解得x1=1,x2=2,x3=-3,

∴函数f(x)=x3-7x+6的零点是1,2,-3. 

规律方法

求函数y=f(x)的零点通常有两种方法:一是令y=0,根据解方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是画出函数y=f(x)的图像,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

跟踪训练

1.如图所示是一个二次函数y=f(x)的图像.

(1)写出这个二次函数的零点;

(2)试比较f(-4)•f(-1),f(0)•f(2)与0的大小关系.

[解](1)由图像可知,函数f(x)的两个零点分别是-3,1.

(2)根据图像可知,f(-4)•f(-1)<0,f(0)•f(2)<0.

二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 

【例2】利用函数求下列不等式的解集:

(1)x2-5x-6>0;(2)(2-x)(x+3)<0;

(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).

[解] (1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.

结合二次函数y=x2-5x-6的图像知,

原不等式的解集为(-∞,-1)∪(6,+∞).

(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.

方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.

结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图像知,

原不等式的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).

规律方法

利用函数求不等式解集的基本步骤

1把一元二次不等式化成一般形式,并把a的符号化为正;

2计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ;

3求其对应一元二次方程的根;

4写出解集大于取两边,小于取中间.

用函数零点法求一元高次不等式的解集

【例3】求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集.

[解] 函数的零点为-3,1,2.

函数的定义域被这三个点分成四部分,每一部分的符号如下表所示.

课堂小结

1.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标,也是函数y=f(x)-g(x)的图像与x轴交点的横坐标.

2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系

(1)ax2+bx+c=0(a≠0)的解是函数f(x)=ax2+bx+c的零点.

(2)ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值为正数的自变量x的取值集合;ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是f(x)=ax2+bx+c的函数值为负数的自变量x的取值集合.

3.图像法解一元二次不等式的步骤

(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程;

(2)求出其对应的二次函数的零点;

(3)画出二次函数的图像;

(4)结合图像写出一元二次不等式的解集.

... ... ...

函数与方程不等式之间的关系PPT,第四部分内容:当堂达标固双基

1.下列图像表示的函数中没有零点的是(  )

A [B,C,D的图像均与x轴有交点,故函数均有零点,A的图像与x轴没有交点,故函数没有零点.]

2.方程5x2-7x-1=0的根所在的区间是(  )

A.(-1,0)

B.(1,2)

C.一个根在(-1,0)上,另一个根在(1,2)上 

D.一个根在(0,1)上,另一个根在(-2,-1)上 

3.函数f(x)=x-1x零点的个数是(  )

A.0  B.1  C.2  D.3

4.函数f(x)=(x2-1)(x+2)2(x2-2x-3)的零点个数是________.

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