《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT(第4课时向量的数量积)
第一部分内容:学习目标
理解平面向量夹角的定义,并会求已知两个非零向量的夹角
理解平面向量数量积的含义并会计算
理解a在b上的投影向量的概念
掌握平面向量数量积的性质及其运算律,并会应用
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平面向量的运算PPT,第二部分内容:自主学习
问题导学
预习教材P17-P22的内容,思考以下问题:
1.什么是向量的夹角?
2.数量积的定义是什么?
3.投影向量的定义是什么?
4.向量数量积有哪些性质?
5.向量数量积的运算有哪些运算律?
新知初探
1.两向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作OA→=a,OB→=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)特例:①当θ=0时,向量a与b_____;
②当θ=π2时,向量a与b_____,记作a⊥b;
③当θ=π时,向量a与b_____.
■名师点拨
按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,∠BAC不是向量CA→与AB→的夹角.作AD→=CA→,则∠BAD才是向量CA→与AB→的夹角.
2.向量的数量积
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a•b,即a•b=__________.
规定零向量与任一向量的数量积为_____.
名师点拨
(1)两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值来决定.
(2)两个向量的数量积记作a•b,千万不能写成a×b的形式.
3.投影向量
如图(1),设a,b是两个非零向量,AB→=a,CD→=b,我们考虑如下变换:过AB→的起点A和终点B,分别作CD→所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B1→,我们称上述变换为向量a向向量b投影(project),A1B1→叫做向量a在向量b上的投影向量.
如图(2),在平面内任取一点O,作OM→=a,ON→=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则OM1→就是向量a在向量b上的投影向量.
(2)若与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则OM1→=|a|cos θ e.
4.向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a•e=e•a=|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔__________.
(3)当a与b同向时,a•b=_____;
当a与b反向时,a•b=__________.特别地,a•a=_____或|a|=a•a.
(4)|a•b|_____|a||b|.
名师点拨
对于性质(2),可以用来解决有关垂直的问题,即若要证明某两个非零向量垂直,只需判定它们的数量积为0即可;若两个非零向量的数量积为0,则它们互相垂直.
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平面向量的运算PPT,第三部分内容:自我检测
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量.( )
(2)若a•b=0,则a=0或b=0.( )
(3)a,b共线⇔a•b=|a||b|.( )
(4)若a•b=b•c,则一定有a=c.( )
(5)两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.( )
2.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为45°,则m•n=( )
A.12 B.122
C.-122 D.-12
3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)•15b=-36,则a与b的夹角为( )
A.60° B.120°
C.135° D.150°
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平面向量的运算PPT,第四部分内容:讲练互动
平面向量的数量积运算
(1)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)•(a+3b).
(2)如图,在▱ABCD中,|AB→|=4,|AD→|=3,
∠DAB=60°,求:
①AD→•BC→;②AB→•DA→.
【解】(1)(a+2b)•(a+3b)
=a•a+5a•b+6b•b
=|a|2+5a•b+6|b|2
=|a|2+5|a||b|cos 60°+6|b|2
=62+5×6×4×cos 60°+6×42=192.
(2)①因为AD→∥BC→,且方向相同,
所以AD→与BC→的夹角是0°,
所以AD→•BC→=|AD→||BC→|•cos 0°=3×3×1=9.
规律方法
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
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平面向量的运算PPT,第五部分内容:达标反馈
1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a•b=2,则a与b的夹角θ为( )
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
2.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为( )
A.-6 B.6
C.3 D.-3
3.已知|a|=3,|b|=5,a•b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则a在b上的投影向量为______.
4.已知|a|=1,|b|=2.
(1)若a∥b,求a•b;
(2)若a,b的夹角为60°,求|a+b|;
(3)若a-b与a垂直,求a与b的夹角.
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