《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT课件(第3课时向量的数乘运算)
第一部分内容:必备知识·素养奠基
1.向量的数乘运算
定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.
规定:(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.
【思考】
向量数乘运算的结果是什么?
提示:数乘向量的结果仍是一个向量,它既有大小又有方向.
2.向量数乘的运算律
设λ,μ为实数,则(1)λ(μa)=λμa;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
3.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
【思考】
(1)共线向量定理中的“a≠0”是否多余,能去掉吗?
提示:不能,定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0,λ存在,但不唯一,若a=0,b≠0,则λ不存在.
(2)反之,“若存在一个实数λ,使b=λa(a≠0),则a与b共线”成立吗?
提示:成立.
... ... ...
平面向量的运算PPT,第二部分内容:关键能力·素养形成
类型一 向量的线性运算
【典例】1.(2019·临沂高一检测)化简 [ (2a+8b)-(4a-2b)]的结果是( )
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
2.已知向量a,b,x,且(x-a)-(b-x)=x-(a+b),则x=________.
【思维·引】1.类比实数运算中合并同类项的方法化简.
2.利用解方程的方法求解.
【解析】1.选B.原式= (a+4b-4a+2b)= (6b-3a)=2b-a.
2.因为(x-a)-(b-x)=2x-(a+b),所以2x-a-b=x-a-b,即x=0.
答案:0
【内化·悟】
1.向量的线性运算的主要方法是什么?
提示:去括号,合并“同类项”.
2.解含有向量的方程时,可以把向量当成普通未知量求解吗?
提示:可以.
【类题·通】
向量线性运算的方法
(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
【习练·破】
已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于 ( )
A.10d B.-10d
C.20d D.-20d
【解析】选B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.
【加练·固】
已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
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