《函数的应用(一)》函数的概念与性质PPT
第一部分内容：课标阐释
1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
3.会应用一次、二次函数和幂函数模型解决一些简单的实际问题.
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函数的应用PPT，第二部分内容：自主预习
利用具体函数模型解决实际问题
1.常见的数学模型有哪些?
提示:利用具体函数解决实际问题是我们需要关注的内容,具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,希望同学们能重点运用一次函数、二次函数、、幂函数和分段函数等常见函数来解决问题.下面是几种常见的函数模型:
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2)反比例函数模型:f(x)=k/x+b(k,b为常数,k≠0);
(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.
(4)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);
(5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.
2.数学模型可以用下面的图表来表示解决过程.
3.做一做
假设某种商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a√A ,广告效应D=R-A,则当A=_______时,取得最大的广告效应.
解析
D=a√A-A=-(√A)2+a√A=-(√A "-" a/2)^2+a^2/4.
当√A=a/2,即A=a^2/4时,D取得最大值.
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函数的应用PPT，第三部分内容：探究学习
一次函数模型的应用
例1某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( )
A.2 000套 B.3 000套 C.4 000套 D.5 000套
解析:因利润z=12x-(6x+30 000),
所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
答案:D
反思感悟 一次函数模型的应用
利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
变式训练 1商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:
(1)买一个茶壶赠一个茶杯;
(2)按总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?
解:由优惠办法(1)可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法(2)可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;
当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法(1)更省钱;
当x>34时,y1>y2,优惠办法(2)更省钱.
二次函数模型的应用
例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.
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函数的应用PPT，第四部分内容：思维辨析
求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制而致错
典例 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x.
问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.
错解设四边形EFGH的面积为S,
则S=ab-2[1/2 x^2+1/2 "(" a"-" x")(" b"-" x")" ]
=-2x2+(a+b)x=-2(x"-" (a+b)/4)^2+("(" a+b")" ^2)/8.
根据二次函数的性质可知,
当x=(a+b)/4时,S有最大值("(" a+b")" ^2)/8.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:错解中没有考虑所得二次函数的定义域,就直接利用二次函数的性质求解,从而导致出错.
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函数的应用PPT，第五部分内容：随堂演练
1.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:安)与电线半径r(单位:毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为( )
A.60安 B.240安 C.75安 D.135安
解析:设比例系数为k,则电流强度I=kr3,由已知可得当r=4时,I=320,故有320=43k,解得k=320/64=5,所以I=5r3,则当r=3时,I=5×33=135(安).
答案:D
2.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售16辆这种品牌车,则能获得的最大利润是( )
A.10.5万元 B.11万元
C.43万元 D.43.025万元
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