《任意角》三角函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.掌握用“旋转”定义角的概念,结合具体实例理解“正角”“负角”及“零角”的定义.
2.理解“象限角”“终边相同角”的定义,掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法.
3.体会用运动变化的观点,深刻理解推广后的角的概念.
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任意角PPT，第二部分内容：自主预习
一、任意角
1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的角的范围是什么?
提示:具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、平角、周角;0°<α≤360°.
(2)在奥运会比赛中,跳水是极具观赏性的项目,其中解说员经常播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称.比如说“107B”就表示向前翻腾3周半屈体,“107C”就是向前翻腾3周半抱膝(第三个数字表示翻腾的周数,以“1”为半圆,“2”为一周,“3”为一周半,以此类推).若一位跳水运动员做了一个“5253B”动作,你知道这位运动员翻腾的周数吗?怎样度量这种形式的角呢?
提示:5253B中第3个数是5,说明该运动员翻腾两周半,对这样的角的认识必须将以前学过的角的概念进行推广.
2.填空
(1)角的概念:平面内的一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类
温馨提示:1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记成“α”;
2.如果α是零角,那么记α=0°.
二、第几象限角
1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,且使角α的始边与x轴的非负半轴重合,角的顶点与原点重合,回答以下问题:
(1)α=45°的角终边落在第几象限?
提示:第一象限.
(2)α=120°的角终边落在第几象限?
提示:第二象限.
(3)α=-90°的角终边落在第几象限?
提示:y轴的负半轴上.
(4)若α终边落在第二象限,则角φ的范围是多少?
提示:90°+k·360°<φ<180°+k·360°,k∈Z.
(5)若将α的终边再继续旋转角β得到的角如何表示?
提示:α+β
2.填空
象限角的定义
(1)前提:
①角的顶点与原点重合;
②角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;
角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限.
三、终边相同的角
1.在同一平面直角坐标系内作出30°,390°,-330°,750°角,观察它们的终边有什么关系,这些角之间相差多少度?
提示:终边在相同的位置,它们之间相差360°的整数倍.
2.填空
一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
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任意角PPT，第三部分内容：探究学习
任意角的概念及其表示
例1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A.60°,720° B.-60°,-720°
C.-30°,-360° D.-60°,720°
(2)下图中的角α的度数是___________.
解析:(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而2/12×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.
(2)要正确识图,确定好旋转的方向和旋转的大小.因为角α旋转的大小是360°-30°=330°,旋转方向是逆时针,所以α=330°.
答案:(1)B (2)330°
反思感悟 确定任意角的方法:
(1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负角.
(2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.
变式训练1(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A.120° B.-120°
C.240° D.-240°
(2)图中角α=__________,β=__________.
解析:(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是-240°,故选D.
(2)由题图可知α=-(180°-30°)=-150°,β=30°+180°=210°.
答案:(1)D (2)-150° 210°
坐标系中角的概念及其表示
角度1 终边相同的角的求解
例2写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1 080°范围内与75°角终边相同的角.
分析:根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1 080°范围内的角.
解:与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
当360°≤β<1 080°时,即360°≤k·360°+75°<1 080°,
解得19/24≤k<219/24.
又k∈Z,所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°;
当k=2时,β=795°.
综上所述,与75°角终边相同且在360°~1 080°范围内的角为435°角和795°角.
反思感悟 求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.
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任意角PPT，第四部分内容：思维辨析
对任意角的概念不清导致角的范围写错
典例 写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合.
错解一终边为OA的角为k·360°+30°(k∈Z),
终边为OB的角为k·360°+150°(k∈Z),
所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}.
错解二终边为OA的角为k·360°+30°(k∈Z),终边为OB的角为k·360°+150°(k∈Z),
所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°+150°<α<k·360°+30°,k∈Z}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?怎么防范?
提示:错解一考虑了角的大小,但表示的是终边落在阴影部分以外的角;错解二没有注意到角的大小,写出的集合是空集.
正解:因为阴影部分含x轴正半轴,所以终边为OA的角为β=30°+k·360°,k∈Z,终边为OB的角为γ=-210°+k·360°,k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|-210°+k·360°≤α≤30°+k·360°,k∈Z}.
防范措施 1.用不等式表示区域角的范围时,要注意观察角的集合形式是否能够合并,能合并的一定要合并.
2.对于区域角的书写,一定要看其区域是否跨越x轴的正方向.
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任意角PPT，第五部分内容：随堂演练
1.下列叙述正确的是( )
A.三角形的内角必是第一或第二象限角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.第四象限角一定是负角
D.钝角比第三象限角小
解析:90°角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280°角是第四象限角,它是正角,故C错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D错.
答案:B
2.把-1 485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )
A.315°-5×360° B.45°-4×360°
C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°
解析:∵0°≤α<360°,∴排除C,D选项,经计算可知选项A正确.
答案:A
3.-495°角的终边与下列哪个角的终边相同( )
A.135° B.45° C.225° D.-225°
解析:因为-495°=-2×360°+225°,所以与-495°角终边相同的是225°角.故选C.
答案:C
4.与-2 018°角终边相同的最小正角是 .
解析:∵-2 018°=-6×360°+142°,∴所求值为142°.
答案:142°
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