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《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT课件(第1课时函数的单调性)
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《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT课件(第1课时函数的单调性)

第一部分内容:学 习 目 标

1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(重点、难点)

2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(难点)

3.会求一些具体函数的单调区间.(重点)

核 心 素 养

1.借助单调性的证明,培养逻辑推理素养.

2.利用求单调区间及应用单调性解题,培养直观想象和数学运算素养.

... ... ...

函数的基本性质PPT,第二部分内容:自主预习探新知

新知初探

1.增函数与减函数的定义

条件  一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时

         都有_____________   都有_____________

结论   那么就说函数f(x)在区间D上是___函数 那么就说函数f(x)在区间D上是___函数

思考1:增(减)函数定义中的x1,x2有什么特征?

提示:定义中的x1,x2有以下3个特征:

(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;

(2)有大小,通常规定x1<x2;

(3)属于同一个单调区间.

2.函数的单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在区间D上_____________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的________.

思考2:函数y=1x在定义域上是减函数吗?

提示:不是.y=1x在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上也递减,但不能说y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上递减.

初试身手

1.函数y=f(x)的图象如图所示,其增区间是(  )

A.[-4,4]

B.[-4,-3]∪[1,4]

C.[-3,1]

D.[-3,4]

2.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是(  )

A.y=-1x

B.y=x

C.y=x2

D.y=1-x

3.函数f(x)=x2-2x+3的单调减区间是________.

... ... ...

函数的基本性质PPT,第三部分内容:合作探究提素养

求函数的单调区间

【例1】求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.

(1)f(x)=-1x;(2)f(x)=2x+1,x≥1,5-x,x<1;

(3)f(x)=-x2+2|x|+3.

[解](1)函数f(x)=-1x的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数.

(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.

规律方法

求函数单调区间的方法

(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;

(2)利用函数的图象,如本例(3).

提醒:若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(3).

函数单调性的判定与证明

【例2】证明函数f(x)=x+1x在(0,1)上是减函数.

[思路点拨] 设元0<x1<x2<1―→作差:fx1-fx2

――→变形判号:fx1>fx2――→结论减函数

规律方法

利用定义证明函数单调性的步骤

1取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2.

2作差变形:作差fx1-fx2,并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.

3定号:确定fx1-fx2的符号.

4结论:根据fx1-fx2的符号及定义判断单调性.

提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.

函数单调性的应用

[探究问题]

1.若函数f(x)是其定义域上的增函数,且f(a)>f(b),则a,b满足什么关系.如果函数f(x)是减函数呢?

提示:若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b;若函数f(x)是其定义域上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,a<b.

2.决定二次函数f(x)=ax2+bx+c单调性的因素有哪些?

提示:开口方向和对称轴的位置,即字母a的符号及-b2a的大小.

... ... ...

函数的基本性质PPT,第四部分内容:当堂达标固双基

1.思考辨析

(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.(  )

(2)若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y=f(x)的单调递减区间是[1,3].(  )

(3)函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3).(  )

(4)若函数y=f(x)在定义域上有f(1)<f(2),则函数y=f(x)是增函数.(  )

(5)若函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,则f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减.(  )

2.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是(  )

A.函数在区间[-5,-3]上单调递增

B.函数在区间[1,4]上单调递增

C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减

D.函数在区间[-5,5]上没有单调性

3.如果函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b的取值范围为(  )

A.b=3

B.b≥3

C.b≤3

D.b≠3

... ... ...

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