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《函数的应用》指数函数与对数函数PPT课件(第1课时函数的零点与方程的解)
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《函数的应用》指数函数与对数函数PPT课件(第1课时函数的零点与方程的解)

第一部分内容:学 习 目 标

1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.(易混点)

2.会求函数的零点.(重点)

3.掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.(难点)

核 心 素 养

1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养.

2.借助函数的零点同方程根的关系,培养直观想象的数学素养.

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函数的应用PPT,第二部分内容:自主预习探新知

新知初探

1.函数的零点

对于函数y=f(x),把使_______________叫做函数y=f(x)的零点.

思考1:函数的零点是函数与x轴的交点吗?

提示:不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.

2.方程、函数、函数图象之间的关系

方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与______有交点⇔函数y=f(x)有______.

3.函数零点存在定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条______的曲线,且有______,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得______,这个c也就是方程f(x)=0的解.

思考2:该定理具备哪些条件?

提示:定理要求具备两条:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)•f(b)<0.

初试身手

1.下列各图象表示的函数中没有零点的是(  )

2.函数y=2x-1的零点是(  )

A.12  B.12,0  

C.0,12 D.2

3.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为(  )

A.(0,1)   B.(-1,0)  

C.(2,3)   D.(1,2)

4.二次函数y=ax2+bx+c中,a•c<0,则函数有________个零点.

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函数的应用PPT,第三部分内容:合作探究提素养

求函数的零点

【例1】(1)求函数f(x)=x2+2x-3,x≤0,-2+ln x,x>0的零点;

(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.

[解] (1)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;

当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.

所以函数f(x)=x2+2x-3,x≤0-2+ln x,x>0的零点为-3和e2.

(2)由已知得f(3)=0即3a-b=0,即b=3a.

故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1).

令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,

解得x=0或x=-13.

所以函数g(x)的零点为0和-13.

规律方法

函数零点的求法

1代数法:求方程fx=0的实数根.

2几何法:对于不能用求根公式的方程fx=0,可以将它与函数y=fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

判断函数零点所在的区间

【例2】(1)函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的大致区间是(  )

A.(3,4) B.(2,e)

C.(1,2)   D.(0,1)

(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是(  )

x -1 0 1 2 3

ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08

x+3 2 3 4 5 6

A.(-1,0)   B.(0,1)

C.(1,2)   D.(2,3)

(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,

f(0)=1-3=-2<0,

f(1)=2.72-4=-1.28<0,

f(2)=7.39-5=2.39>0,

f(3)=20.08-6=14.08>0,

f(1)•f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.]

规律方法

判断函数零点所在区间的三个步骤

1代入:将区间端点值代入函数求出函数的值.

2判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.

3结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.

课堂小结

1.在函数零点存在定理中,要注意三点:(1)函数是连续的;(2)定理不可逆;(3)至少存在一个零点.

2.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标,也是函数y=f(x)-g(x)的图象与x轴交点的横坐标.

3.函数与方程有着密切的联系,有些方程问题可以转化为函数问题求解,同样,函数问题有时也可以转化为方程问题,这正是函数与方程思想的基础.

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函数的应用PPT,第四部分内容:当堂达标固双基

1.思考辨析

(1)f(x)=x2的零点是0.(  )

(2)若f(a)•f(b)>0,则f(x)在[a,b]内无零点.(  )

(3)若f(x)在[a,b]上为单调函数,且f(a)•f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.(  )

(4)若f(x)在(a,b)内有且只有一个零点,则f(a)•f(b)<0.(  )

2.函数f(x)=2x-3的零点所在的区间是(  )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

3.对于函数f(x),若f(-1)•f(3)<0,则(  )

A.方程f(x)=0一定有实数解

B.方程f(x)=0一定无实数解

C.方程f(x)=0一定有两实根

D.方程f(x)=0可能无实数解

4.已知函数f(x)=x2-x-2a.

(1)若a=1,求函数f(x)的零点;

(2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.

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