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《函数的应用》指数函数与对数函数PPT课件(第2课时用二分法求方程的近似解)
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《函数的应用》指数函数与对数函数PPT课件(第2课时用二分法求方程的近似解)

第一部分内容:学 习 目 标

1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件.(重点)

2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,能借助计算器用二分法求方程的近似解.(难点)

3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点,从而求得方程的近似解.(易混点)

核 心 素 养

借助二分法的操作步骤与思想,培养数学建模及逻辑推理素养.

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函数的应用PPT,第二部分内容:自主预习探新知

1.二分法的定义

对于在区间[a,b]上图象__________且__________的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在的区间__________,使所得区间的两个端点逐步逼近_________,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

思考:若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?

提示:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.

2.二分法求函数零点近似值的步骤

(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.

(2)求区间(a,b)的中点c.

(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:

①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;

②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;

③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.

(4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4).

初试身手

1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(  )

A.[-2,1]

B.[-1,0]

C.[0,1]  

D.[1,2]

2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是(  )

A.|a-b|<0.1

B.|a-b|<0.001

C.|a-b|>0.001

D.|a-b|=0.001

3.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则不能利用二分法求解的零点是________.

4.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.

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函数的应用PPT,第三部分内容:合作探究提素养

二分法的概念

【例1】已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(  )

A.4,4  B.3,4  C.5,4  D.4,3

D[图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以用二分法求解的个数为3,故选D.]

规律方法

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.

用二分法求函数零点的近似值

[探究问题]

1.用二分法求方程的近似解,如何决定步骤的结束?

提示:当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时,二分法步骤结束.

2.用二分法求方程的近似解时,精确度不同对零点有影响吗?

提示:精确度决定步骤的始终,故精确度不同,零点可能会不同.

课堂小结

1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.

2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足:

(1)在区间[a,b]上连续不断;

(2)f(a)•f(b)<0,

上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.

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函数的应用PPT,第四部分内容:当堂达标固双基

1.思考辨析

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.(  )

(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.(  )

(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.(  )

2.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是(  )

A.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在[a,b]内的所有零点得到

B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在[a,b]内的零点

C.应用“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在[a,b]内有可能无零点

D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解

3.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)•f(4)<0.取区间的中点x1=2+42=3,计算得f(2)•f(x1)<0,则此时零点x0∈________(填区间).

4.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:

x 1.00 1.25 1.375 1.50

f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9

由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1).

[解] 因为f(1.25)•f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.

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