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《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第1课时两角差的余弦公式)
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《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第1课时两角差的余弦公式)

第一部分内容:学 习 目 标

1.了解两角差的余弦公式的推导过程.(重点)

2.理解用向量法导出公式的主要步骤.(难点)

3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.(重点、易混点)

核 心 素 养

1. 通过两角差的余弦公式的推导,培养数学运算素养.

2. 借助公式的变形、正用、逆用,提升逻辑推理素养.

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三角恒等变换PPT,第二部分内容:自主预习探新知

新知初探

两角差的余弦公式

公式 cos(α-β)=

适用条件 公式中的角α,β都是任意角

公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反

初试身手

1.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=(  )

A.32  B.12

C.-32  D.-12

2.cos(-15°)的值是(  )

A.6-22  B.6+22

C.6-24  D.6+24

3.cos 65°cos 20°+sin 65°sin 20°=________.

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三角恒等变换PPT,第三部分内容:合作探究提素养

给角求值问题

【例1】 (1)cos13π12的值为(  )

A.6+24 B.6-24

C.2-64    D.-6+24]

(2)求下列各式的值:

①cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°;

②sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°;

③12cos 15°+32sin 15°.

规律方法

1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是:

(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.

(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.

2.两角差的余弦公式的结构特点:

(1)同名函数相乘:即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦.

(2)把所得的积相加.

跟踪训练

1.化简下列各式:

(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);

(2)-sin 167°•sin 223°+sin 257°•sin 313°.

给值(式)求值问题

[探究问题]

1.若已知α+β和β的三角函数值,如何求cos α的值?

提示:cos α=cos[(α+β)-β]

=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.

2.利用α-(α-β)=β可得cos β等于什么?

提示:cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β).

规律方法

给值求值问题的解题策略

1已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.

2由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有:

①α=α-β+β;

②α=α+β2+α-β2;

③2α=α+β+α-β;

④2β=α+β-α-β.

课堂小结

1.给式求值或给值求值问题,即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变式”或“变角”,使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、拼角等技巧.

2.“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的值,可分以下三步进行:①求角的某一三角函数值;②确定角所在的范围(找一个单调区间);③确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.

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三角恒等变换PPT,第四部分内容:当堂达标固双基

1.思考辨析

(1)cos(60°-30°)=cos 60°-cos 30°.(  )

(2)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立.(  )

(3)对任意α,β∈R,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β都成立.(  )

(4)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0.(  )

[提示] (1)错误.cos(60°-30°)=cos 30°≠cos 60°-cos 30°.

(2)错误.当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos α-cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,此时cos(α-β)=cos α-cos β.

(3)正确.结论为两角差的余弦公式.

(4)正确.cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=cos(120°-30°)=cos 90°=0.

2.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=1213,sin β=-35,则cos(α-β)的值为(  )

A.-6365  B.-3365

C.6365   D.3365

3.cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)sin(α+25°)=________.

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