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《三角函数的图象与性质》三角函数PPT课件(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)
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《三角函数的图象与性质》三角函数PPT课件(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)

第一部分内容:学 习 目 标

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.

2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期.(重点)

3.掌握函数y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(重点、易混点)

核 心 素 养

1.通过周期性的研究,培养逻辑推理素养.

2.借助奇偶性及图象的关系,提升直观想象素养.

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三角函数的图象与性质PPT,第二部分内容:自主预习探新知

新知初探

1.函数的周期性

(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个_________,使得当x取定义域内的每一个值时,都有_________,那么这个函数的周期为_____.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_________,那么这个最小_________就叫做f(x)的_________.

2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

初试身手

1.函数y=2sin2x+π2是(  )

A.周期为π的奇函数

B.周期为π的偶函数

C.周期为2π的奇函数 

D.周期为2π的偶函数

2.函数f(x)=2sin 2x的奇偶性为(  )

A.奇函数 

B.偶函数

C.既奇又偶函数 

D.非奇非偶函数

3.函数f(x)=3sinπx2-π4,x∈R的最小正周期为________.

4.若函数y=f(x)是以2为周期的函数,且f(5)=6,则f(1)=________.

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三角函数的图象与性质PPT,第三部分内容:合作探究提素养

三角函数的周期问题及简单应用

【例1】求下列函数的周期:

(1)y=sin2x+π4;

(2)y=|sin x|.

[思路点拨] (1)法一:寻找非零常数T,使f(x+T)=f(x)恒成立.

法二:利用y=Asin(ωx+φ)的周期公式计算.

(2)作函数图象,观察出周期.

[解] (1)法一:(定义法)y=sin2x+π4

=sin2x+π4+2π=sin2x+π+π4,

所以周期为π.

法二:(公式法)y=sin2x+π4中ω=2,T=2πω=2π2=π.

(2)作图如下:

观察图象可知周期为π.

规律方法

求三角函数周期的方法:

(1)定义法:即利用周期函数的定义求解.

(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=2π|ω|.

(3)图象法:即通过观察函数图象求其周期.

提醒:y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的最小正周期T=π|ω|.

跟踪训练

1.利用周期函数的定义求下列函数的周期.

(1)y=cos 2x,x∈R;

(2)y=sin13x-π4,x∈R.

三角函数奇偶性的判断

【例2】判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=sin-12x+π2;

(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x);

(3)f(x)=1+sin x-cos2x1+sin x.

规律方法

1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面:

一看函数的定义域是否关于原点对称;

二看f(x)与f(-x)的关系.

2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.

提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.

课堂小结

1.“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值都成立,T是非零常数,周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值,周期函数的图象每隔一个周期重复一次.

2.周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的,只有个别的x值满足f(x+T)=f(x),不能说T是y=f(x)的周期.

3.在数轴上,定义域关于原点对称,是函数具有奇偶性的一个必要条件.因此,确定函数的奇偶性,先要考查其定义域是否关于原点对称.若是,再判断f(-x)与f(x)的关系;若不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数.

... ... ...

三角函数的图象与性质PPT,第四部分内容:当堂达标固双基

1.思考辨析

(1)若sin2π3+π6=sinπ6,则2π3是函数y=sin x的一个周期.(  )

(2)所有的周期函数都有最小正周期.(  )

(3)函数y=sin x是奇函数.(  )

[提示] (1)×.因为对任意x,sin2π3+x与sin x并不一定相等.

(2)×.不是所有的函数都有最小正周期,如函数f(x)=5是周期函数,就不存在最小正周期.

(3)×.函数y=sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},不关于原点对称,故非奇非偶.

2.如图所示的是定义在R上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象的是(  )

3.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)=3,则f(5)=________.

4.判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=-2cos 3x;

(2)f(x)=xsin(x+π).

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