《三角函数的图象与性质》三角函数PPT课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)
第一部分内容:学 习 目 标
1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.(重点、难点)
2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.(重点)
3.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.(重点、易混点)
核 心 素 养
1.通过单调性与最值的计算,提升数学运算素养.
2.结合函数图象,培养直观想象素养.
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三角函数的图象与性质PPT,第二部分内容:自主预习探新知
新知初探
解析式 y=sin x y=cos x
值域 _________ _________
单调性 在-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z上单调递增,在π2+2kπ,3π2+2kπ,k∈Z上单调递减
在[-π+2kπ,2kπ],k∈Z上单调递增,在[2kπ,π+2kπ],k∈Z上单调递减
最值 x=π2+2kπ,k∈Z时,ymax=1;x=-π2+2kπ,k∈Z时,ymin=-1
x=2kπ,k∈Z时,ymax=1;x=π+2kπ,k∈Z时,ymin=-1
思考:y=sin x和y=cos x在区间(m,n)(其中0<m<n<2π)上都是减函数,你能确定m的最小值、n的最大值吗?
提示:由正弦函数和余弦函数的单调性可知m=π2,n=π.
初试身手
1.函数y=-cos x在区间-π2,π2上是( )
A.增函数
B.减函数
C.先减后增函数
D.先增后减函数
2.函数y=sin xπ4≤x≤5π6的值域为________.
3.函数y=2-sin x取得最大值时x的取值集合为________.
4.若cos x=m-1有意义,则m的取值范围是________.
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三角函数的图象与性质PPT,第三部分内容:合作探究提素养
正弦函数、余弦函数的单调性
【例1】(1)函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)=2sinπ4+2x+1,求函数f(x)的单调递增区间.
[思路点拨] (1)确定a的范围→y=cos x在区间[-π,a]上为增函数→y=cos x在区间[-π,0]上是增函数,在区间[0,π]上是减函数→a的范围.
(2)确定增区间→令u=π4+2x→y=2sin u的单调递增区间.
规律方法
1.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.
2.具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.
提醒:复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律.
利用三角函数的单调性比较大小
【例2】利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
(1)sin-π18与sin-π10;
(2)sin 196°与cos 156°;
(3)cos-235π与cos-174π.
[思路点拨] 用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小
规律方法
三角函数值大小比较的策略
1利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到-π2,π2或π2,3π2内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内.
2不同名的函数化为同名的函数.
3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
课堂小结
1.确定三角函数单调区间的方法有多种,如换元法、列表法、图象法等,解题时需适当选取,同时要注意,求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行.
2.函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域,求三角函数值域的方法很多,如果函数式中含有多个三角函数式,往往要先将函数式进行变形.
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三角函数的图象与性质PPT,第四部分内容:当堂达标固双基
1.思考辨析
(1)y=sin x在(0,π)上是增函数.( )
(2)cos 1>cos 2>cos 3.( )
(3)函数y=-12sin x,x∈0,π2的最大值为0.( )
2.y=2cos x2的值域是( )
A.[-2,2]
B.[0,2]
C.[-2,0]
D.R
3.sin2π7________sin-15π8(填“>”或“<”).
4.函数y=1-sin 2x的单调递增区间.
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