《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
第一部分内容：学 习 目 标
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
核 心 素 养
1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.
2.借助公式进行求值，提升数学运算素养.
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三角恒等变换PPT，第二部分内容：自主预习探新知
新知初探
两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切T(α＋β) tan(α＋β)＝___________α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且tan α•tan β≠1
两角差的正切T(α－β) tan(α－β)＝___________α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tan α•tan β≠－1
初试身手
1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )
A．2 B．1
C.12 D．4
2．求值：tan11π12＝________.
3．已知tan α＝2，则tanα＋π4＝________.
4.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________.
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三角恒等变换PPT，第三部分内容：合作探究提素养
两角和与差的正切公式的正用
【例1】(1)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝________.
(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
[思路点拨] (1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.
(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．
规律方法
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：
(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：
(1)计算待求角的正切值．
(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
(3)根据角的范围及三角函数值确定角．
两角和与差的正切公式的逆用
【例2】(1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________.
(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.
[思路点拨] 注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．
规律方法
公式Tα±β的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等.
要特别注意tanπ4＋α＝1＋tan α1－tan α，tanπ4－α＝1－tan α1＋tan α.
跟踪训练
2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( )
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)
B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)
D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
两角和与差的正切公式的变形运用
[探究问题]
1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？
提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．
2．若tan α、tan β是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)?
提示：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－ba1－ca＝－ba－c.
课堂小结
1．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋π2 (k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．
2．注意公式的变形应用．
如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1－tan αtan β＝tan α＋tan βtanα＋β，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，1＋tan αtan β＝tan α－tan βtanα－β等.
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三角恒等变换PPT，第四部分内容：当堂达标固双基
1．思考辨析
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )
(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)•(1－tan αtan β)．( )
[提示] (1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)．
(3)√.当α≠kπ＋π2(k∈Z)，β≠kπ＋π2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．
2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝( )
A.17 B．－17
C．1 D．－1
3．若tanπ3－α＝3，则tan α的值为________．
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