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《增长速度的比较》指数函数、对数函数与幂函数PPT课件
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《增长速度的比较》指数函数、对数函数与幂函数PPT课件

第一部分内容:学习目标

了解平均变化率描述增长速度的概念

了解在实际生活中不同增长规律的函数模型

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增长速度的比较PPT,第二部分内容:自主学习

问题导学

预习教材P38-P40的内容,思考以下问题:

1.平均变化率是如何定义的?

2.如何用平均变化率描述增长速度?

3.线性增长、指数增长、对数增长有什么关系?

新知初探

1.平均变化率

我们已经知道,函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率为

ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1.

也就是说,平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比,这也可以理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加ΔfΔx个单位.因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.

2.几类不同增长的函数模型

(1)一次函数模型

一次函数模型y=kx(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.

(2)指数函数模型

指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“爆炸式增长”.

(3)对数函数模型

对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.

(4)幂函数模型

当x>0,n>1时,幂函数y=xn是增函数,且当x>1时,n越大其函数值的增长速度就越快.

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增长速度的比较PPT,第三部分内容:自我检测

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(  )

(2)对任意的x>0,kx>logax.(  )

(3)对任意的x>0,ax>logax.(  )

(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.(  )

2.  下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(  )

A.y=ex  B.y=ln x

C.y=3x      D.y=e-x

3.  函数f(x)=x从0到2的平均变化率为(  )

A.22   B.1

C.0   D.2

... ... ...

增长速度的比较PPT,第四部分内容:讲练互动

平均变化率的比较

例1  (1)在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x、

②y=x2、③y=x3、④y=1x中,平均变化率最大的是(  )

A.④   B.③

C.②   D.①

(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速率分别为v-1,v-2,v-3,则三者的大小关系为________.

规律方法

求平均变化率的主要步骤

(1)求Δy=f(x2)-f(x1).

(2)求Δx=x2-x1.

(3)求平均变化率ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1.  

函数模型增长差异的比较

例2  甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:

①当x>1时,甲走在最前面;

②当x>1时,乙走在最前面;

③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面;

④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;

⑤如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.

其中,正确结论的序号为________.

规律方法

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.

(2)指数函数模型

指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.

(3)对数函数模型

对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.  

... ... ...

增长速度的比较PPT,第五部分内容:达标反馈

1.函数y=2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为(  )

A.x0+Δx  B.1+Δx

C.2+Δx        D.2

2.下列函数中,在(0,+∞)上增长速度最快的是(  )

A.y=x2   B.y=log2x

C.y=2x   D.y=2x

3.在一次数学试验中,采集到如下一组数据:

则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数)(  )

A.y=a+bx   B.y=a+bx

C.y=ax2+b   D.y=a+bx

4.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型.

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