《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步PPT(向量基本定理)
第一部分内容：课标阐释
1.掌握共线向量基本定理,并会简单应用.
2.理解平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.
3.能够灵活应用向量定理解决平面几何问题.
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向量基本定理与向量的坐标PPT，第二部分内容：课前篇自主预习
一、共线向量基本定理
1.填空.
如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.
2.如何理解共线向量定理?
提示:(1)由b=λa⇒a∥b中,若λ=0,则b=0,零向量与任一向量都平行.若λ>0,则a与b同向;若λ<0,则a与b反向.
(2)该定理有两方面的应用,一是一个向量可以由另一个向量线性表示,则可以判定两向量平行;二是若两向量平行,则一个向量可以由另一非零向量线性表示,可以用来求参数λ,它是轴上向量坐标化的依据.
3.做一做:若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=____________b.
二、平面向量基本定理
1.填空.
条件 如果平面内两个向量a与b不共线
结论 对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb
基底 若向量a,b不共线,则{a,b}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
2.如何理解平面向量基本定理?
提示:(1)a,b是同一平面内的两个不共线向量;
(2)该平面内的任意向量c都可用a,b线性表示,且这种表示是唯一的;
(3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.
3.做一做:若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.e1-e2,e2-e1
B.2e1-e2,e1- e2
C.2e2-3e1,6e1-4e2
D.e1+e2,e1-e2
答案:D
解析:e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底.
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向量基本定理与向量的坐标PPT，第三部分内容：课堂篇探究学习
向量共线问题
例1已知两个非零向量a,b不共线,(OA) =a+b,(OB) =a+2b,(OC) =a+3b.
(1)证明:A,B,C三点共线,
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
分析:(1)根据共线向量定理证明;(2)利用共线向量定理建立方程组求解.
平面向量基本定理的应用
例2已知在△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点.若(AB) =a,(AC) =b,用a,b表示(AD) ,(AE) ,(AF) .
分析:把(AD) ,(AE) ,(AF) 分别放在一个封闭三角形中,利用线性运算不断地向基底靠拢.
解:由题意,得
(AD)=(AB) +(BD) =(AB) +1/2 (BC) =(AB) +1/2((AC) -(AB) )
=a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,
(AE) =(AB) +(BE) =a+1/3(b-a)=2/3a+1/3b,
(AF) =(AB) +(BF) =a+2/3(b-a)=1/3a+2/3b.
反思感悟用基底来表示向量主要有以下两种类型
(1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解.
(2)若直接利用基底表示比较困难,则利用“正难则反”的原则,采用方程思想求解.
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向量基本定理与向量的坐标PPT，第四部分内容：思维辨析
方程思想在向量中的应用——数学方法
典例
如图所示,在▱ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与AC分别交于点R,T.求证:AR=RT=TC.
审题视角要证明AR=RT=TC,只要找出AR,AT,AC的关系即可,为此需借助于(AR) 与(AC) 共线,(ER) 与(EB) 共线设参数,利用解方程求出参数.
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向量基本定理与向量的坐标PPT，第五部分内容：当堂检测
1.点C在线段AB上,且(AC) =3/5 (AB) ,(AC) =λ(BC) ,则λ为 ( )
A.2/3 B.3/2 C.-3/2 D.-2/3
答案:C
2.已知a,b是不共线的向量,(AB) =λa+2b,(AC) =a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=( )
A.-1 B.-2 C.-2或1 D.-1或2
答案:D
3.△ABC中,E为AB边的中点,F为AC边的中点,BF交CE于点G.若(AG) =x(AE) +y(AF) ,则xy等于( )
A.2/9 B.1/3 C.4/9 D.4/3
答案:C
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